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CONOSCENZE MATEMATICHE E GEOMETRICHE DEGLI EGIZI
(di Giuseppe Badalucco)
Negli ultimi anni è stato molto vivo il dibattito fra gli studiosi sulle
conoscenze scientifiche degli Antichi, in particolare delle civiltà del
Vicino Oriente.
Generalmente gli studiosi si sono spaccati fra coloro che sono sostenitori
della teoria secondo cui tali conoscenze erano molto elevate e coloro che
invece tendono a ridimensionare tale patrimonio culturale antico,
riconducendolo ad una conoscenza sommaria della matematica e della
geometria. Tale sottovalutazione deriverebbe dal fatto che i popoli antichi
non avrebbero lasciato testimonianze dirette delle proprie conoscenze con la
redazione di veri e propri trattati di tipo scientifico, che invece fu
eredità del pensiero greco.
Tuttavia è importante accennare brevemente a tali conoscenze che permettono
di capire quale fosse lo stato della scienza presso questi popoli e che, per
gli Egizi, ci è testimoniato da alcuni papiri scoperti nel XIX secolo; tra
questi abbiamo il papiro Rhind, o di Ahmes, il papiro di Kahun, il papiro di
Berlino, due tavolette di legno risalenti intorno al 2000 a.C., un rotolo di
pelle contenente elenchi di frazioni, e il papiro Goleniscev o di Mosca
risalente intorno al 1890 a.C. In questi papiri sono stati riportati, dagli
scribi che li hanno elaborati, alcuni problemi di matematica e geometria che
sono stati risolti nell'epoca di redazione del papiro utilizzando delle
formule che solo 1500 anni dopo sono state formalmente vergate sulla carta
dai matematici greci.
Vediamo brevemente alcuni esempi tratti dai papiri ritrovati.
PAPIRO RHIND
Tra i più antichi documenti matematici ritrovati dagli archeologi, il papiro
Rhind è un rotolo di 5 metri di lunghezza per 30 cm di larghezza (custodito
dal British Museum); prende il nome dall'antiquario scozzese (Henry Rhind)
che lo acquistò nel 1858 a Luxor.
Il papiro risale al Regno medio ed è datato tra il 2000 e il 1650 a.C.,
elaborato in ieratico che era un linguaggio più semplice rispetto al
geroglifico e attribuito allo scriba di nome Ahmes.
Nel papiro, tra i vari problemi indicati, compare la risoluzione del
problema del computo dell'area del cerchio.
Secondo lo scriba, l'area di un campo di forma circolare con un diametro di
9 unità era uguale all'area di un quadrato con un lato di 8 unità. Il
problema viene posto in questi termini: "Un campo rotondo di 9 khet di
diametro. Qual è la sua area? Togli 1/9 dal diametro, 1; il rimanente è 8.
Moltiplica 8 per 8: fa 64. Quindi esso contiene 64 sesat".
In questo papiro compare quindi una formula approssimata per il calcolo
dell'area
di un cerchio di diametro x; la formula usata è (x - 1/9 x)2.
Gli studi condotti dagli storici della matematica su questa formula rispetto
a quella moderna, che è A = ?r2 hanno permesso di mettere in luce che il
valore attribuito in questo caso a ? è pari a 3+1/6 = 3,16., approssimazione
abbastanza buona del valore effettivo del ? pari a 3,14159... comunque tale
da essere notata dagli studiosi, anche se permane il dubbio su quella che
era la conoscenza effettiva del rapporto circonferenza-diametro del cerchio.
Nello stesso papiro compare anche un insieme di regole relative alle
frazioni che riguarda la rappresentazione delle parti decimali, fornendo per
ogni numero intero dispari compreso fra 3 e 101 la scomposizione in frazioni
unitarie della frazione di 2/n.
Ancora compaiono problemi relativi alle quattro operazioni elementari, in
cui viene esposto il metodo di calcolo. Per effettuare la moltiplicazione
gli egizi addizionavano il moltiplicando a se stesso e duplicavano il
risultato ottenuto fino a raggiungere la risoluzione del problema posto.
Nel papiro Rhind sono presenti anche problemi algebrici risolvibili con
equazioni lineari del tipo x+ax=b e x+ax+bx=c, noti a, b e c con incognita
x, nonché problemi geometrici relativi al calcolo delle aree di poligoni,
come il triangolo isoscele, oltre al famoso problema 50 esposto più sopra.
In particolare l'area del triangolo isoscele viene calcolata con uno
stratagemma molto intelligente, scomponendo il triangolo in due triangoli
rettangoli e ruotandone uno di fianco all'altro, in modo tale da formare un
rettangolo. Si trova così la formula di calcolo dell'area del triangolo
moltiplicando l'altezza del triangolo per la metà della base (base per
altezza diviso 2).
PAPIRO DI MOSCA
Detto anche di Goleniscev, il papiro di Mosca misura 5,5 metri di lunghezza
per 7,5 cm di larghezza. Fu elaborato da uno scriba della XII dinastia
(intorno al 1890 a.C.) rimasto ignoto.
In questo scritto vi sono 25 esempi di calcoli matematici e problemi legati
alla vita pratica di cui due hanno destato l'interesse degli studiosi: i
problemi 10 e 14.
Il "problema 14" presenta una figura che è simile ad un tronco di piramide
quadrata, anche se può essere scambiata per un trapezio isoscele. Le
descrizioni che accompagnano la figura indicano che il problema consiste nel
calcolare il volume del tronco di piramide a base quadrata in cui l'altezza
è pari a 6 unità, con i lati della base maggiore e minore lunghi
rispettivamente 4 e 2 unità.
Lo scriba illustra in che modo risolve il problema adottando la
[22+42+2(4)](1/3)(6) e conclude facendo osservare che il risultato finale è
pari a 56.
La formula adottata equivale alla formula moderna V=h(a2+ab+b2)/3 dove h è
l'altezza,
a e b sono i lati delle basi quadrate. Questa formula non viene
esplicitamente scritta ma viene adottata e utilizzata in modo equivalente.
Gli storici della matematica non sono riusciti del tutto a comprendere in
che modo gli egizi abbiano potuto arrivare a questo metodo di calcolo. Si
ipotizza che abbiano scomposto il tronco di piramide in parallelepipedi,
prismi e piramidi, sostituendo successivamente prismi e piramidi con blocchi
rettangolari di uguale dimensione, ma resta il dubbio su questa ipotesi.
Gli esempi riportati più sopra, contenuti nei papiri ritrovati nel XIX°
secolo, hanno dimostrato che in epoca abbastanza remota, almeno intorno al
2000-1800 a.C., gli egizi disponevano di conoscenze matematiche e
geometriche che possono essere definite, con cautela, di una certa
rilevanza.
Poiché gli edifici geometrici come le Piramidi di Giza risalgono, secondo
gli studiosi, intorno al 2500 a.C., quindi circa 500-700 anni prima rispetto
ai papiri descritti, non è errato pensare che gli egizi avessero conoscenze
simili, riguardo i principi della matematica e della geometria anche
nell'epoca
delle Piramidi.
Con questo si vuole dire che lo sviluppo della matematica e della geometria
applicati all'architettura megalitica non è facile da spiegare in modo
razionale nell'evoluzione della storia della civiltà del Nilo, poiché la
presunta apparizione dello Stato egizio, e quindi l'orologio della storia,
inizia intorno al 3100 a.C. con l'unificazione dello Stato Faraonico, ma da
quell'epoca al 2500 a.C. passano solo 600 anni.
In questo arco di tempo la civiltà egizia evolve in modo tale che nel corso
di pochi secoli si ha quel processo di sviluppo tecnologico, e quindi anche
di tipo scientifico-matematico, che permette di passare dalle forme rozze e
poco curate delle mastabe, alle piramidi ancora "imperfette" a gradoni o
curve, fino alle piramidi a facce lisce, vero gioiello dell'architettura di
tutti i tempi.
Secondo gli studiosi questo percorso è lineare perché può essere paragonato
allo stesso periodo di tempo che intercorre dal 1400 europeo, in cui lo
stato della tecnica era ancora preindustriale, nonostante venissero
realizzate opere architettoniche di grande valore, fino all'epoca della
rivoluzione industriale e scientifica del '600 e del '700 che hanno portato
l'umanità al progresso moderno.
Tuttavia queste argomentazioni comportano un notevole imbarazzo agli
studiosi che vogliano affrontare la questione dello sviluppo tecnologico e
della scienza nel mondo antico con un minimo di ragionevolezza, poiché la
questione è molto più complessa.
Infatti la nascita della civiltà egizia avviene in un contesto storico che
vede la culla della civiltà situarsi nell'Africa e nel Vicino Oriente,
mentre il resto del nostro mondo era ancora fermo alla preistoria con l'Età
del Rame.
In questo contesto storico-sociale il progresso delle scienze egizie (come
matematica, geometria, astronomia, architettura, medicina, chimica) avviene
in un arco di tempo tale per cui nel volgere di alcuni secoli si giunge
all'Età
delle piramidi, con conoscenze così avanzate da permettere agli scribi egizi
di formulare la risoluzione di problemi di una certa complessità, impiegando
formule equivalenti a quelle vergate sulla carta dai Greci circa duemila
anni dopo.
Come dire che alcuni matematici della prima epoca del cristianesimo
facessero uso del calcolo infinitesimale su cui lavorarono studiosi come
Leibnitz e Laplace solo nel XVIII secolo.
Questa evoluzione delle conoscenze matematiche e geometriche degli egizi è
avvolta nel più totale mistero poiché le scoperte fatte non gettano luce a
sufficienza per avere un quadro esauriente.
Il paragone con la storia della matematica occidentale nel medioevo non
sembra però attendibile poiché l'evoluzione temporale della matematica
moderna avvenne in modo più lento. Lo stato della scienza matematica era,
per così dire, fermo dall'epoca del crollo dell'Impero Romano e nello
sviluppo della matematica in Occidente giocò un ruolo fondamentale Leonardo
Pisano Fibonacci con i suoi studi che riprendono la tradizione culturale
islamica.
Proprio l'Islam fece da "cerniera" tra le conoscenze matematiche,
geometriche e astronomiche, ferme dall'epoca greca e l'epoca moderna, anche
attraverso l'introduzione della notazione numerale indiana, giocando un
ruolo di grande importanza per lo sviluppo della nostra civiltà moderna.
Se guardiamo attentamente allo sviluppo dello stato della scienza
nell'Europa
del primo Cristianesimo fino all'epoca della rivoluzione scientifica
galileiana, occorrono qualcosa come 1600 anni per giungere gradualmente a
questo grado di sviluppo, mentre per la civiltà egizia sembra che il
passaggio all'epoca delle piramidi sia, dall'inizio della sua storia, meno
della metà di questo percorso temporale.
Quanto detto può servire a una riflessione e, comunque la si pensi, è una
delle chiavi di volta della storia dell'Egitto.
Sembra che nella storia millenaria della civiltà egizia si possano incuneare
una serie di circostanze di carattere storico, scientifico e tecnologico che
tendono a complicare il quadro, non permettendo agli studiosi di avere le
idee chiare.
È importante, infatti, mettere in luce il fatto che, nonostante i papiri
attestino tali tipi di conoscenze già consolidate nel 1800 o 1600 a.C., lo
stato della tecnica costruttiva e architettonica degli egizi dopo l'epoca
delle piramidi, dal 2600 a.C. al 2300 a.C. circa, subisce una radicale
trasformazione in senso regressivo; un vero e proprio tracollo tecnologico
che comporta come conseguenza quella della costruzione di monumenti con
caratteristiche ingegneristiche molto più antiquate rispetto ai giganti di
Giza.
Molte delle piramidi più recenti sono crollate e altre furono danneggiate e
non hanno resistito all'usura del tempo.
Quei papiri stanno così a dimostrare che lo stato delle conoscenze
scientifiche degli egizi a quell'epoca è quello che appare da tali scritti,
ma tale elemento non va di pari passo con l'esperienza dell'architettura
megalitica, almeno da una certa epoca in avanti.
Ciò che impressiona di più delle conoscenze matematiche e geometriche
espresse nei papiri che ci sono pervenuti, è che essi sono riusciti ad
impiegare delle formule di calcolo che sono state formalizzate dai
matematici greci sulla carta solo quasi 1000-1500 anni dopo.
Su questo punto è importante capire che, secondo gli studiosi, la più
importante differenza che si può mettere in luce tra la matematica degli
Egizi e dei Babilonesi e quella greca è legata al fatto che la matematica
greca si assunse il compito di fornire una vera e propria sistemazione
organica della disciplina con la realizzazione di veri e propri trattati che
racchiusero, tra il 600 e il 100 a.C., tutti gli studi e le ricerche
dell'epoca,
inaugurando la nascita della scienza matematica e geometrica.
Per contro, ciò che viene "rimproverato" ai matematici egizi e babilonesi è
di aver realizzato una matematica e geometria essenzialmente di tipo
"pratico" volta alla risoluzione di singoli problemi di natura agraria o
economica, o tecnico-geometrica o architettonica, senza raggiungere una vera
e propria formalizzazione della materia che avviene solo in epoca greca.
Ciò che gli studiosi moderni non chiariscono a sufficienza è la profondità
delle conoscenze, tali da permettere agli egizi di usufruire delle formule
di calcolo circa 1500 anni prima che venissero "riscoperte" dai Greci.
Del periodo compreso fra il 3000 e il 2500 a.C., sembra quasi che della
presenza di papiri che attestino le conoscenze egizie non ve ne sia bisogno
poiché gli stessi monumenti megalitici stanno con la loro presenza a
dimostrare l'alto livello raggiunto dal popolo del Nilo.
Permangono comunque dubbi sulla conoscenza effettiva del ? da parte degli
Egizi.
Occorre infatti riflettere sul fatto che dal papiro Rhind deriva un ? è pari
a 3,16. mentre le misurazioni condotte sulla piramide di Cheope
dimostrerebbero che all'origine doveva presentare un'altezza pari a 146,73
metri, con un perimetro alla base di circa 921,45 metri con un rapporto
esatto di 2?.
Sembrerebbe strano che nel 2500 a.C. i costruttori avessero usato il valore
esatto del ? per poi far si che nel corso dei secoli successivi si usasse un
valore approssimato, a meno che tale approssimazione non fosse
indispensabile ai fini del corretto computo delle formule di calcolo della
superficie del cerchio.
Si può ipotizzare anche un effettivo regresso, non solo della tecnologia
costruttiva degli Egizi dopo la IV dinastia (2500 a.C.), ma anche delle
conoscenze scientifiche, che potrebbe essersi verificato a causa dei
rivolgimenti sociali che lo Stato Egizio subì in epoca posteriore al 2000
a.C.
Tuttavia nei papiri ritrovati finora sembra evidente che gli Egizi avessero
dimestichezza con metodi alternativi, rispetto a quelli che noi conosciamo
oggi, per la risoluzione di problemi riguardanti la geometria piana, la
matematica e l'algebra (con particolare riguardo alla conoscenza dei metodi
di scomposizione dei numeri naturali in frazioni), al punto da poter
usufruire di metodi estremamente intelligenti per la scomposizione di figure
piane, che si rendeva utile al fine della risoluzione di problemi geometrici
e matematici di relativa complessità.
Al di là dei dubbi che permangono, lo sviluppo della scienza umana è molto
più antico di quanto si potrebbe pensare...
Riferimenti bibliografici
- Carl B. Boyer, "Storia della matematica", Oscar Saggi Mondadori, 1990
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